अध्याय 3: दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म
रैखिक समीकरण युग्म और ग्राफ़
दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म a₁x + b₁y + c₁ = 0 और a₂x + b₂y + c₂ = 0 को ग्राफ़ पर दो रेखाओं से दिखाते हैं।
(i) रेखाएँ कटती हैं: एक हल, संगत। शर्त: a₁/a₂ ≠ b₁/b₂।
(ii) रेखाएँ संपाती हैं: अनंत हल, आश्रित और संगत। शर्त: a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂।
(iii) रेखाएँ समांतर हैं: कोई हल नहीं, असंगत। शर्त: a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂।
प्रतिस्थापन विधि
(1) एक समीकरण से एक चर को दूसरे के पदों में लिखो। (2) उसे दूसरे समीकरण में रखकर एक चर वाला समीकरण हल करो। (3) मान को पहले समीकरण में रखकर दूसरा चर निकालो। यदि दूसरे चरण में कोई सत्य कथन (जैसे 18 = 18) मिले तो अनंत हल हैं, और असत्य कथन (जैसे −4 = 0) मिले तो कोई हल नहीं है।
विलोपन विधि
समीकरणों को उपयुक्त संख्याओं से गुणा करो ताकि किसी एक चर के गुणांक बराबर हो जाएँ। फिर समीकरणों को जोड़कर या घटाकर वह चर हटा दो। बचे हुए चर का मान निकालकर दूसरा चर ज्ञात करो।
शब्द-प्रश्न हल करने का तरीक़ा
अज्ञात राशियों को x और y मानो, कथनों से दो समीकरण बनाओ, किसी विधि से हल करो और अंत में उत्तर को प्रश्न की शर्तों में रखकर जाँचो। जैसे एक अंक का योग 9 और संख्या के 9 गुने के बराबर उलटे अंकों वाली संख्या का दुगुना हो तो संख्या 18 मिलती है।
महत्वपूर्ण प्रश्न
Q1. दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म का सामान्य रूप क्या है?
a₁x + b₁y + c₁ = 0 और a₂x + b₂y + c₂ = 0, जहाँ a₁, b₁, c₁, a₂, b₂, c₂ वास्तविक संख्याएँ हैं।
Q2. संगत, असंगत और आश्रित युग्म क्या हैं?
जिस युग्म का हल हो वह संगत है। जिसका कोई हल न हो वह असंगत है। जिसके अनंत हल हों वह आश्रित (और संगत) है।
Q3. रैखिक समीकरण युग्म के ग्राफ़ की तीन संभावित स्थितियाँ बताओ।
(i) रेखाएँ एक बिंदु पर कटती हैं: अद्वितीय हल (संगत)। (ii) रेखाएँ समांतर हैं: कोई हल नहीं (असंगत)। (iii) रेखाएँ संपाती हैं: अनंत हल (आश्रित)।
Q4. अनुपातों a₁/a₂, b₁/b₂, c₁/c₂ से तीनों स्थितियों की शर्तें लिखो।
कटती रेखाएँ: a₁/a₂ ≠ b₁/b₂। संपाती: a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂। समांतर: a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂।
Q5. 5x − 4y + 8 = 0 और 7x + 6y − 9 = 0 की रेखाएँ कटेंगी, समांतर होंगी या संपाती?
a₁/a₂ = 5/7 और b₁/b₂ = −4/6। दोनों बराबर नहीं हैं, इसलिए रेखाएँ एक बिंदु पर कटेंगी।
Q6. 9x + 3y + 12 = 0 और 18x + 6y + 24 = 0 की रेखाएँ कैसी होंगी?
9/18 = 3/6 = 12/24 = 1/2। तीनों अनुपात बराबर हैं, इसलिए रेखाएँ संपाती हैं।
Q7. 6x − 3y + 10 = 0 और 2x − y + 9 = 0 की रेखाएँ कैसी होंगी?
6/2 = 3 और −3/−1 = 3 बराबर हैं, पर 10/9 इनसे अलग है, इसलिए रेखाएँ समांतर हैं।
Q8. 2x − 3y = 8 और 4x − 6y = 9 संगत है या असंगत?
इन्हें 2x − 3y − 8 = 0 और 4x − 6y − 9 = 0 लिखें। 2/4 = −3/−6 = 1/2, पर c का अनुपात 8/9 अलग है, इसलिए रेखाएँ समांतर हैं और युग्म असंगत है।
Q9. 5x − 3y = 11 और −10x + 6y = −22 कैसा युग्म है?
5/−10 = −3/6 = 11/−22 = −1/2। तीनों अनुपात बराबर हैं, इसलिए रेखाएँ संपाती हैं और युग्म आश्रित (संगत) है।
Q10. एक आयताकार बगीचे की लंबाई, चौड़ाई से 4 m अधिक है और आधा परिमाप 36 m है। बगीचे की माप ज्ञात करो।
चौड़ाई x और लंबाई x + 4 लें, तो x + (x + 4) = 36, इसलिए x = 16। चौड़ाई 16 m और लंबाई 20 m।
Q11. 5 पेंसिल और 7 पेन का मूल्य ₹50 है, जबकि 7 पेंसिल और 5 पेन का मूल्य ₹46 है। एक पेंसिल और एक पेन का मूल्य ज्ञात करो।
पेंसिल x, पेन y लें: 5x + 7y = 50 और 7x + 5y = 46। हल करने पर x = 3 और y = 5। एक पेंसिल ₹3 की और एक पेन ₹5 का।
Q12. कक्षा 10 के 10 विद्यार्थी क्विज़ में भाग लेते हैं। लड़कियाँ लड़कों से 4 अधिक हैं। लड़कों और लड़कियों की संख्या ज्ञात करो।
लड़कियाँ x, लड़के y: x + y = 10 और x − y = 4। हल: x = 7, y = 3। यानी 7 लड़कियाँ और 3 लड़के।
Q13. प्रतिस्थापन विधि के चरण बताओ और 7x − 15y = 2, x + 2y = 3 को हल करो।
चरण: (1) एक समीकरण से एक चर को दूसरे के पदों में लिखो, (2) उसे दूसरे समीकरण में रखकर एक चर वाला समीकरण हल करो, (3) मान वापस रखकर दूसरा चर निकालो। यहाँ x = 3 − 2y, फिर 7(3 − 2y) − 15y = 2 से y = 19/29 और x = 49/29।
Q14. प्रतिस्थापन विधि से हल करो: x + y = 14, x − y = 4।
x = 14 − y लेने पर 14 − y − y = 4, इसलिए y = 5 और x = 9।
Q15. दो संख्याओं का अंतर 26 है और एक संख्या दूसरी की तीन गुनी है। संख्याएँ ज्ञात करो।
बड़ी x, छोटी y लें: x − y = 26 और x = 3y। तब 3y − y = 26, इसलिए y = 13 और x = 39।
Q16. एक क्रिकेट कोच 7 बल्ले और 6 गेंदें ₹3800 में खरीदती है। बाद में 3 बल्ले और 5 गेंदें ₹1750 में खरीदती है। एक बल्ले और एक गेंद का मूल्य ज्ञात करो।
बल्ला x, गेंद y: 7x + 6y = 3800 और 3x + 5y = 1750। हल: x = 500, y = 50। एक बल्ला ₹500 का और एक गेंद ₹50 की।
Q17. एक शहर में टैक्सी का किराया निश्चित शुल्क और दूरी के शुल्क से मिलकर बनता है। 10 km का किराया ₹105 और 15 km का ₹155 है। निश्चित शुल्क और प्रति km शुल्क क्या है? 25 km का किराया क्या होगा?
निश्चित शुल्क x, प्रति km y: x + 10y = 105 और x + 15y = 155। घटाने पर 5y = 50, इसलिए y = 10 और x = 5। 25 km का किराया = 5 + 25 × 10 = ₹255।
Q18. विलोपन विधि के चरण बताओ और x + y = 5, 2x − 3y = 4 को हल करो।
चरण: (1) समीकरणों को ऐसे गुणा करो कि किसी चर के गुणांक बराबर हो जाएँ, (2) जोड़ या घटाकर वह चर हटाओ, (3) बचे चर का मान निकालकर दूसरा चर ज्ञात करो। यहाँ पहले समीकरण को 3 से गुणा करने पर 3x + 3y = 15। जोड़ने पर 5x = 19, इसलिए x = 19/5 और y = 6/5।
Q19. पाँच साल पहले नूरी की आयु सोनू की आयु की तीन गुनी थी। दस साल बाद नूरी की आयु सोनू की आयु की दुगुनी होगी। दोनों की आयु ज्ञात करो।
नूरी x, सोनू y: x − 5 = 3(y − 5) और x + 10 = 2(y + 10)। सरल करने पर x − 3y = −10 और x − 2y = 10। हल: y = 20, x = 50। नूरी 50 वर्ष की और सोनू 20 वर्ष का।
Q20. मीना को बैंक से ₹2000 निकालने हैं। कैशियर ने ₹50 और ₹100 के कुल 25 नोट दिए। प्रत्येक के कितने नोट मिले?
₹50 के x और ₹100 के y नोट: x + y = 25 और 50x + 100y = 2000। हल: x = 10, y = 15। ₹50 के 10 नोट और ₹100 के 15 नोट।
क्विज़
1. यदि दो रेखाएँ समांतर हों, तो समीकरण युग्म के कितने हल होंगे?
समांतर रेखाएँ कभी नहीं मिलतीं, इसलिए कोई हल नहीं।
2. 2x + 3y = 9 और 4x + 6y = 18 के कितने हल हैं?
दूसरा समीकरण पहले का दुगुना है, इसलिए रेखाएँ संपाती हैं और अनंत हल हैं।
3. x + y = 14 और x − y = 4 का हल क्या है?
जोड़ने पर 2x = 18, इसलिए x = 9 और y = 5।
4. अद्वितीय हल के लिए कौन सी शर्त चाहिए?
रेखाएँ एक बिंदु पर कटती हैं जब a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ हो।
5. 3x + 2y = 5 और 2x − 3y = 7 का युग्म कैसा है?
3/2 ≠ 2/−3, इसलिए रेखाएँ कटती हैं और युग्म संगत है।