अध्याय 2: बहुपद
बहुपद और उसके शून्यक
बहुपद p(x) में x की सबसे बड़ी घात उसकी घात है। घात 1: रैखिक (ax + b)। घात 2: द्विघात (ax² + bx + c, a ≠ 0)। घात 3: त्रिघात। p(x) में x = k रखने पर जो मान मिलता है उसे p(k) कहते हैं। यदि p(k) = 0 हो, तो k बहुपद का शून्यक है। रैखिक ax + b का शून्यक −b/a है। जैसे x² − 3x − 4 के शून्यक −1 और 4 हैं।
शून्यक का ज्यामितीय अर्थ
y = p(x) का ग्राफ़ x-अक्ष को जिन बिंदुओं पर काटता है, उनके x-निर्देशांक शून्यक हैं। रैखिक बहुपद का ग्राफ़ सीधी रेखा होता है और उसका ठीक एक शून्यक होता है। द्विघात का ग्राफ़ परवलय होता है (a > 0 पर ऊपर खुला, a < 0 पर नीचे खुला) और वह x-अक्ष को दो बिंदुओं पर, एक बिंदु पर या किसी बिंदु पर नहीं काटता, यानी 2, 1 या 0 शून्यक। घात n वाले बहुपद के अधिकतम n शून्यक होते हैं। (ग्राफ़ स्वयं खींचना परीक्षा में नहीं पूछा जाता।)
शून्यकों और गुणांकों का संबंध
यदि α और β द्विघात ax² + bx + c के शून्यक हों, तो α + β = −b/a और αβ = c/a। उदाहरण: 2x² − 8x + 6 = 2(x − 1)(x − 3), शून्यक 1 और 3। योग 4 = 8/2 और गुणनफल 3 = 6/2।
योग और गुणनफल से बहुपद बनाना
यदि शून्यकों का योग S और गुणनफल P दिया हो, तो एक द्विघात बहुपद x² − Sx + P है। कोई भी दूसरा ऐसा बहुपद k(x² − Sx + P) के रूप में होता है। जैसे योग −3 और गुणनफल 2 के लिए x² + 3x + 2। (त्रिघात बहुपद के शून्यकों के संबंध एक अतिरिक्त जानकारी हैं, परीक्षा के लिए नहीं।)
महत्वपूर्ण प्रश्न
Q1. बहुपद की घात क्या होती है? रैखिक, द्विघात और त्रिघात बहुपद के सामान्य रूप लिखो।
बहुपद में x की सबसे बड़ी घात उसकी घात है। रैखिक: ax + b (a ≠ 0)। द्विघात: ax² + bx + c (a ≠ 0)। त्रिघात: ax³ + bx² + cx + d (a ≠ 0)।
Q2. p(x) = x² − 3x − 4 का मान x = 2 पर ज्ञात करो।
p(2) = 2² − 3 × 2 − 4 = 4 − 6 − 4 = −6।
Q3. बहुपद का शून्यक क्या होता है?
वह वास्तविक संख्या k जिसके लिए p(k) = 0 हो। जैसे x² − 3x − 4 के शून्यक −1 और 4 हैं, क्योंकि p(−1) = 0 और p(4) = 0।
Q4. रैखिक बहुपद ax + b का शून्यक क्या होता है? 2x + 3 का शून्यक बताओ।
ax + b का शून्यक −b/a है। इसलिए 2x + 3 का शून्यक −3/2 है।
Q5. शून्यक का ज्यामितीय अर्थ क्या है?
y = p(x) का ग्राफ़ x-अक्ष को जिन बिंदुओं पर काटता है, उन बिंदुओं के x-निर्देशांक ही p(x) के शून्यक होते हैं।
Q6. द्विघात बहुपद का ग्राफ़ कैसा होता है?
परवलय (पैराबोला)। a > 0 हो तो ऊपर की ओर खुला और a < 0 हो तो नीचे की ओर खुला होता है।
Q7. द्विघात बहुपद के ग्राफ़ और x-अक्ष के संबंध की तीन स्थितियाँ बताओ।
ग्राफ़ x-अक्ष को (i) दो अलग बिंदुओं पर काट सकता है (दो शून्यक), (ii) ठीक एक बिंदु पर (एक शून्यक, दो बराबर), (iii) किसी बिंदु पर नहीं (कोई शून्यक नहीं)।
Q8. घात n वाले बहुपद के अधिकतम कितने शून्यक हो सकते हैं?
अधिकतम n शून्यक। इसलिए द्विघात के अधिकतम 2 और त्रिघात के अधिकतम 3 शून्यक होते हैं।
Q9. द्विघात बहुपद ax² + bx + c के शून्यकों α और β के योग और गुणनफल के लिए सूत्र लिखो।
α + β = −b/a और αβ = c/a।
Q10. x² − 2x − 8 के शून्यक ज्ञात करो और संबंध की जाँच करो।
x² − 2x − 8 = (x − 4)(x + 2), शून्यक 4 और −2। योग = 2 = −(−2)/1 और गुणनफल = −8 = −8/1, संबंध सही है।
Q11. 4s² − 4s + 1 के शून्यक ज्ञात करो और संबंध की जाँच करो।
4s² − 4s + 1 = (2s − 1)², शून्यक 1/2 और 1/2। योग = 1 = 4/4 और गुणनफल = 1/4, संबंध सही है।
Q12. 6x² − 3 − 7x के शून्यक ज्ञात करो और संबंध की जाँच करो।
इसे 6x² − 7x − 3 = (3x + 1)(2x − 3) लिखें। शून्यक −1/3 और 3/2। योग = 7/6 = −(−7)/6 और गुणनफल = −1/2 = −3/6, संबंध सही है।
Q13. 4u² + 8u के शून्यक ज्ञात करो और संबंध की जाँच करो।
4u² + 8u = 4u(u + 2), शून्यक 0 और −2। योग = −2 = −8/4 और गुणनफल = 0 = 0/4, संबंध सही है।
Q14. t² − 15 के शून्यक ज्ञात करो और संबंध की जाँच करो।
t² − 15 = (t − √15)(t + √15), शून्यक √15 और −√15। योग = 0 = −0/1 और गुणनफल = −15 = −15/1, संबंध सही है।
Q15. 3x² − x − 4 के शून्यक ज्ञात करो और संबंध की जाँच करो।
3x² − x − 4 = (3x − 4)(x + 1), शून्यक 4/3 और −1। योग = 1/3 = −(−1)/3 और गुणनफल = −4/3, संबंध सही है।
Q16. ऐसा द्विघात बहुपद ज्ञात करो जिसके शून्यकों का योग 1/4 और गुणनफल −1 हो।
x² − (योग)x + (गुणनफल) = x² − x/4 − 1। 4 से गुणा करने पर 4x² − x − 4। (कोई भी k(4x² − x − 4) भी चलेगा।)
Q17. ऐसा द्विघात बहुपद ज्ञात करो जिसके शून्यकों का योग √2 और गुणनफल 1/3 हो।
x² − √2 x + 1/3। 3 से गुणा करने पर 3x² − 3√2 x + 1।
Q18. ऐसा द्विघात बहुपद ज्ञात करो जिसके शून्यकों का योग 0 और गुणनफल √5 हो।
x² − 0·x + √5 = x² + √5।
Q19. ऐसा द्विघात बहुपद ज्ञात करो जिसके शून्यकों का योग −3 और गुणनफल 2 हो।
x² − (−3)x + 2 = x² + 3x + 2। कोई भी दूसरा ऐसा बहुपद k(x² + 3x + 2) के रूप में होगा।
Q20. x² + 7x + 10 के शून्यक ज्ञात करो और संबंध की जाँच करो।
x² + 7x + 10 = (x + 2)(x + 5), शून्यक −2 और −5। योग = −7 = −7/1 और गुणनफल = 10 = 10/1, संबंध सही है।
क्विज़
1. 2x + 3 का शून्यक क्या है?
ax + b का शून्यक −b/a है, यानी −3/2।
2. द्विघात बहुपद के अधिकतम कितने शून्यक हो सकते हैं?
घात 2 वाले बहुपद के अधिकतम 2 शून्यक होते हैं।
3. x² − 2x − 8 के शून्यकों का योग क्या है?
योग = −b/a = −(−2)/1 = 2।
4. 3x² − x − 4 के शून्यकों का गुणनफल क्या है?
गुणनफल = c/a = −4/3।
5. यदि किसी परवलय का ग्राफ़ पूरी तरह x-अक्ष के ऊपर हो, तो उस द्विघात बहुपद के कितने शून्यक होंगे?
ग्राफ़ x-अक्ष को नहीं काटता, इसलिए कोई शून्यक नहीं।