अध्याय 1: वास्तविक संख्याएँ

यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका

दो धनात्मक पूर्णांकों a और b के लिए a = bq + r होता है, जहाँ 0 ≤ r < b। इससे दो संख्याओं का HCF निकालने की विधि (यूक्लिड एल्गोरिथ्म) मिलती है।

225 = 135×1 + 90; 135 = 90×1 + 45; 90 = 45×2 + 0 → HCF = 45

अंकगणित की आधारभूत प्रमेय

हर भाज्य संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में, क्रम को छोड़कर, एक ही तरह से लिखा जा सकता है। HCF = उभयनिष्ठ अभाज्य संख्याओं की सबसे छोटी घातों का गुणनफल। LCM = सभी अभाज्य संख्याओं की सबसे बड़ी घातों का गुणनफल। दो संख्याओं के लिए HCF × LCM = पहली संख्या × दूसरी संख्या।

अपरिमेय संख्याएँ

जो संख्या p/q (q ≠ 0) के रूप में न लिखी जा सके, वह अपरिमेय है, जैसे √2, √3, √5। परिमेय और अपरिमेय का योग तथा अशून्य परिमेय और अपरिमेय का गुणनफल, दोनों अपरिमेय होते हैं।

दशमलव प्रसार

परिमेय संख्या p/q (सरलतम रूप में) का दशमलव प्रसार सांत होता है यदि q = 2^m×5ⁿ हो। अन्यथा वह असांत आवर्ती होता है। अपरिमेय संख्या का प्रसार असांत और अनावर्ती होता है।

महत्वपूर्ण प्रश्न

Q1. यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका लिखो।

दो धनात्मक पूर्णांकों a और b के लिए ऐसे पूर्णांक q और r होते हैं कि a = bq + r, जहाँ 0 ≤ r < b।

Q2. यूक्लिड एल्गोरिथ्म से 225 और 135 का HCF (महत्तम समापवर्तक) निकालो।

225 = 135 × 1 + 90; 135 = 90 × 1 + 45; 90 = 45 × 2 + 0। इसलिए HCF = 45।

Q3. अंकगणित की आधारभूत प्रमेय क्या कहती है?

हर भाज्य संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में, कर्म को छोड़कर, एक ही प्रकार से लिखा जा सकता है।

Q4. 140 को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में लिखो।

140 = 2 × 2 × 5 × 7 = 2² × 5 × 7।

Q5. 12 और 18 का HCF और LCM अभाज्य गुणनखंड विधि से निकालो।

12 = 2² × 3 और 18 = 2 × 3²। HCF = 2 × 3 = 6। LCM = 2² × 3² = 36।

Q6. 26 और 91 का HCF और LCM निकालकर HCF × LCM = दोनों संख्याओं का गुणनफल जाँचो।

26 = 2 × 13 और 91 = 7 × 13। HCF = 13, LCM = 2 × 7 × 13 = 182। जाँच: 13 × 182 = 2366 = 26 × 91।

Q7. दो संख्याओं का HCF 9 और LCM 90 है। एक संख्या 18 हो तो दूसरी क्या होगी?

HCF × LCM = 9 × 90 = 810। दूसरी संख्या = 810 ÷ 18 = 45।

Q8. समझाओ कि 7 × 11 × 13 + 13 भाज्य संख्या क्यों है।

यह 13 × (7 × 11 + 1) = 13 × 78 है। इसके 1 और स्वयं के अलावा और गुणनखंड भी हैं, इसलिए यह भाज्य है।

Q9. समझाओ कि 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5 भाज्य संख्या क्यों है।

यह 5 × (7 × 6 × 4 × 3 × 2 × 1 + 1) = 5 × 1009 है। इसका एक गुणनखंड 5 है, इसलिए यह भाज्य है।

Q10. सिद्ध करो कि √2 अपरिमेय है।

मान लो √2 = p/q परिमेय है (p, q का कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं)। तब p² = 2q², इसलिए p सम है। p = 2k लेने पर q² = 2k², तो q भी सम है। यह विरोधाभास है, इसलिए √2 अपरिमेय है।

Q11. सिद्ध करो कि 3 + 2√5 अपरिमेय है।

मान लो 3 + 2√5 = r परिमेय है। तब √5 = (r − 3)/2 परिमेय होगा, जो गलत है क्योंकि √5 अपरिमेय है। इसलिए 3 + 2√5 अपरिमेय है।

Q12. परिमेय और अपरिमेय संख्याओं में क्या अंतर है?

परिमेय संख्या को p/q (q ≠ 0) के रूप में लिखा जा सकता है, अपरिमेय को नहीं। जैसे 3/4 परिमेय है और √3 अपरिमेय।

Q13. बिना भाग किए बताओ कि 13/3125 का दशमलव प्रसार सांत होगा या नहीं।

3125 = 5⁵, यानी हर 2^m × 5^n के रूप में है। इसलिए प्रसार सांत होगा।

Q14. क्या 17/8 का दशमलव प्रसार सांत है?

हाँ, क्योंकि 8 = 2³, जो 2^m × 5^n के रूप में है।

Q15. 64/455 का दशमलव प्रसार कैसा होगा?

455 = 5 × 7 × 13 में 7 और 13 भी हैं, जो 2 या 5 नहीं हैं। इसलिए प्रसार असांत आवर्ती होगा।

Q16. क्या किसी प्राकृत संख्या n के लिए 6ⁿ का अंतिम अंक 0 हो सकता है?

नहीं। 6ⁿ = 2ⁿ × 3ⁿ में 5 का गुणनखंड नहीं है, जबकि अंतिम अंक 0 होने के लिए 2 और 5 दोनों चाहिए।

Q17. a = 17 और b = 5 के लिए यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका लिखो।

17 = 5 × 3 + 2। यहाँ q = 3 और r = 2।

Q18. अपरिमेय संख्या का दशमलव प्रसार कैसा होता है?

असांत और अनावर्ती।

Q19. सबसे छोटी अभाज्य और सबसे छोटी भाज्य संख्या कौन सी है?

सबसे छोटी अभाज्य संख्या 2 है और सबसे छोटी भाज्य संख्या 4।

Q20. दो सह-अभाज्य संख्याओं का HCF क्या होता है? एक उदाहरण दो।

1। जैसे 8 और 15 का कोई उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड नहीं है, इसलिए HCF(8, 15) = 1।

क्विज़

1. 96 और 404 का HCF क्या है?

2. 7/(2³ × 5) का दशमलव प्रसार कैसा होगा?

3. √3 कैसी संख्या है?

4. दो संख्याओं का HCF 9 और LCM 90 है। एक संख्या 18 हो तो दूसरी?

5. 2 + √5 क्या है?

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