अध्याय 4: द्विघात समीकरण
द्विघात समीकरण
ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) को द्विघात समीकरण का मानक रूप कहते हैं। कई बार समीकरण को पहले सरल करना पड़ता है। जैसे (x + 2)³ = x³ − 4 सरल करने पर x² + 2x + 2 = 0 बनता है, यानी द्विघात है, जबकि x(x + 1) + 8 = (x + 2)(x − 2) सरल करने पर x + 12 = 0 बनता है, जो द्विघात नहीं है।
गुणनखंडन से मूल निकालना
वह वास्तविक संख्या α, समीकरण का मूल है जिसके लिए aα² + bα + c = 0 हो। द्विघात बहुपद के शून्यक और समीकरण के मूल एक ही होते हैं, और अधिकतम दो मूल होते हैं। मध्य पद को तोड़कर दो रैखिक गुणनखंड बनाओ और हर गुणनखंड को शून्य के बराबर रखो।
मूलों की प्रकृति और द्विघात सूत्र
विविक्तकर D = b² − 4ac। D > 0: दो भिन्न वास्तविक मूल। D = 0: दो बराबर वास्तविक मूल। D < 0: कोई वास्तविक मूल नहीं। द्विघात सूत्र: x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a, जब b² − 4ac ≥ 0।
शब्द-प्रश्न
अज्ञात को x मानकर समीकरण बनाओ, उसे हल करो और अंत में देखो कि कौन सा मान प्रश्न की स्थिति में संभव है। जैसे प्रार्थना-भवन के प्रश्न में चौड़ाई के मूल 12 और −12.5 मिले, पर लंबाई-चौड़ाई ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए चौड़ाई 12 m और लंबाई 25 m है।
महत्वपूर्ण प्रश्न
Q1. द्विघात समीकरण क्या है? उसका मानक रूप लिखो।
x में घात 2 वाले बहुपद को शून्य के बराबर रखने पर द्विघात समीकरण मिलता है। मानक रूप: ax² + bx + c = 0, जहाँ a, b, c वास्तविक संख्याएँ हैं और a ≠ 0।
Q2. जाँचो कि (x − 2)² + 1 = 2x − 3 द्विघात समीकरण है या नहीं।
बाईं ओर x² − 4x + 5 है। इसलिए x² − 4x + 5 = 2x − 3, यानी x² − 6x + 8 = 0। यह ax² + bx + c = 0 के रूप में है, इसलिए द्विघात समीकरण है।
Q3. जाँचो कि x(x + 1) + 8 = (x + 2)(x − 2) द्विघात समीकरण है या नहीं।
x² + x + 8 = x² − 4, यानी x + 12 = 0। यह द्विघात समीकरण नहीं है, क्योंकि x² का पद कट गया।
Q4. जाँचो कि (x + 2)³ = x³ − 4 द्विघात समीकरण है या नहीं।
x³ + 6x² + 12x + 8 = x³ − 4, यानी 6x² + 12x + 12 = 0, या x² + 2x + 2 = 0। यह द्विघात समीकरण है, भले ही देखने में त्रिघात लगे।
Q5. दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल 306 है। इसे द्विघात समीकरण के रूप में लिखो।
पहला पूर्णांक x हो तो दूसरा x + 1। x(x + 1) = 306, यानी x² + x − 306 = 0।
Q6. एक आयताकार भूखंड का क्षेत्रफल 528 m² है और लंबाई चौड़ाई के दुगुने से 1 m अधिक है। इसे द्विघात समीकरण के रूप में लिखो।
चौड़ाई x और लंबाई 2x + 1 हो तो x(2x + 1) = 528, यानी 2x² + x − 528 = 0।
Q7. द्विघात समीकरण का मूल क्या होता है? कितने मूल हो सकते हैं?
वह वास्तविक संख्या α जिसके लिए aα² + bα + c = 0 हो। द्विघात बहुपद के शून्यक और द्विघात समीकरण के मूल एक ही होते हैं, और अधिकतम दो मूल हो सकते हैं।
Q8. गुणनखंडन से हल करो: x² − 3x − 10 = 0।
मध्य पद तोड़ने पर x² − 5x + 2x − 10 = (x − 5)(x + 2) = 0। इसलिए x = 5 या x = −2।
Q9. गुणनखंडन से हल करो: 2x² + x − 6 = 0।
2x² + 4x − 3x − 6 = (2x − 3)(x + 2) = 0। इसलिए x = 3/2 या x = −2।
Q10. गुणनखंडन से हल करो: √2 x² + 7x + 5√2 = 0।
(√2 x + 5)(x + √2) = 0। इसलिए x = −5/√2 या x = −√2।
Q11. गुणनखंडन से हल करो: 100x² − 20x + 1 = 0।
(10x − 1)² = 0, इसलिए x = 1/10 (दोनों मूल बराबर)।
Q12. प्रार्थना-भवन का क्षेत्रफल 300 m² है और लंबाई चौड़ाई के दुगुने से 1 m अधिक है। माप ज्ञात करो।
चौड़ाई x हो तो 2x² + x − 300 = 0। इसे (x − 12)(2x + 25) = 0 लिखें। x = 12 या −12.5, पर चौड़ाई ऋणात्मक नहीं हो सकती। इसलिए चौड़ाई 12 m और लंबाई 2 × 12 + 1 = 25 m।
Q13. दो संख्याएँ ज्ञात करो जिनका योग 27 और गुणनफल 182 है।
एक संख्या x हो तो दूसरी 27 − x। x(27 − x) = 182, यानी x² − 27x + 182 = 0, जिसके मूल 13 और 14 हैं। संख्याएँ 13 और 14 हैं।
Q14. दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक ज्ञात करो जिनके वर्गों का योग 365 है।
x और x + 1 लें: x² + (x + 1)² = 365, यानी x² + x − 182 = 0, जिसके मूल 13 और −14 हैं। धनात्मक होने से x = 13। पूर्णांक 13 और 14 हैं।
Q15. एक समकोण त्रिभुज का लंब, आधार से 7 cm कम है। कर्ण 13 cm हो तो अन्य दोनों भुजाएँ ज्ञात करो।
आधार x हो तो लंब x − 7। x² + (x − 7)² = 13², यानी x² − 7x − 60 = 0, जिसके मूल 12 और −5 हैं। धनात्मक x = 12। आधार 12 cm और लंब 5 cm।
Q16. विविक्तकर क्या है और उससे मूलों की प्रकृति कैसे पता चलती है? द्विघात सूत्र भी लिखो।
विविक्तकर D = b² − 4ac। D > 0: दो भिन्न वास्तविक मूल। D = 0: दो बराबर वास्तविक मूल। D < 0: कोई वास्तविक मूल नहीं। मूल x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a हैं (जब b² − 4ac ≥ 0)।
Q17. 2x² − 4x + 3 = 0 का विविक्तकर ज्ञात करो और मूलों की प्रकृति बताओ।
a = 2, b = −4, c = 3। D = (−4)² − 4 × 2 × 3 = 16 − 24 = −8 < 0। इसलिए कोई वास्तविक मूल नहीं हैं।
Q18. 2x² − 6x + 3 = 0 की मूलों की प्रकृति बताओ और मूल ज्ञात करो।
D = 36 − 24 = 12 > 0, इसलिए दो भिन्न वास्तविक मूल हैं। x = (6 ± √12)/4 = (3 ± √3)/2।
Q19. k का मान ज्ञात करो ताकि 2x² + kx + 3 = 0 के दो बराबर मूल हों।
बराबर मूलों के लिए D = 0: k² − 4 × 2 × 3 = 0, यानी k² = 24, इसलिए k = ±2√6।
Q20. क्या ऐसा आयताकार पार्क बनाना संभव है जिसका परिमाप 80 m और क्षेत्रफल 400 m² हो?
लंबाई + चौड़ाई = 40। लंबाई x हो तो x(40 − x) = 400, यानी x² − 40x + 400 = 0। D = 1600 − 1600 = 0, इसलिए बराबर वास्तविक मूल हैं और बनाना संभव है। x = 20, यानी लंबाई = चौड़ाई = 20 m (वर्गाकार पार्क)।
क्विज़
1. x² − 3x − 10 = 0 के मूल क्या हैं?
(x − 5)(x + 2) = 0, इसलिए x = 5 या −2।
2. 2x² − 4x + 3 = 0 का विविक्तकर क्या है?
D = 16 − 24 = −8।
3. यदि b² − 4ac = 0 हो, तो द्विघात समीकरण के मूल कैसे होते हैं?
D = 0 पर दो बराबर वास्तविक मूल मिलते हैं।
4. द्विघात समीकरण के अधिकतम कितने मूल हो सकते हैं?
घात 2 वाले समीकरण के अधिकतम दो मूल होते हैं।
5. ax² + bx + c = 0 द्विघात समीकरण तभी है जब...
a = 0 होने पर x² का पद नहीं रहता, इसलिए a ≠ 0 चाहिए।